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  • Théorème d’échange des limites

    Formulaire de report

    Théorèmes

    Suite de fonctions

    Théorème (échange des limites) :
    On se donne une suite de fonctions \(f_n:]a,b[\,\to{\Bbb R}\) (pour \(]a,b[\) un intervalle éventuellement non borné) qui converge au moins simplement sur \(]a,b[\) et telle que \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)=\ell_n\)
    Si :
    - Chaque \(f_n:]a,b[\to{\Bbb R}\) a une limite quand \(x\to b^-\)
    - La convergence est uniforme au moins sur un domaine \(]c,b[\,\subset\,]a,b[\)
    Alors :
    - \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)\) existe
    - \(\lim_n\ell_n\) existe
    - On a la formule d'échange des limites :$$\lim_n\underbrace{\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}=\lim_{x\to b^-}\underbrace{\lim_n f_n(x)}_{f(x)}$$

    Consigne: On se donne une suite de fonctions \(f_n:]a,b[\,\to{\Bbb R}\) (pour \(]a,b[\) un intervalle éventuellement non borné) qui converge au moins simplement sur \(]a,b[\) et telle que \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)=\ell_n\)
    Si :
    - Chaque \(f_n:]a,b[\to{\Bbb R}\) a une limite quand \(x\to b^-\)
    - La convergence est uniforme au moins sur un domaine \(]c,b[\,\subset\,]a,b[\)
    Alors montrez que :
    1. \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)\) existe
    2. \(\lim_n\ell_n\) existe
    3. On a la formule d'échange des limites :$$\lim_n\underbrace{\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}=\lim_{x\to b^-}\underbrace{\lim_n f_n(x)}_{f(x)}$$
    (théorème d'échange de limites)

    1. : CVU \(\Rightarrow\) respecte Cauchy
    Preuve de 1. : on utilise \(f_n\overset{\text{CVU}}\longrightarrow f\) sur \(]c,b[\) \(\Rightarrow\) \((f_n)_n\) vérifie le critère de Cauchy de convergence uniforme
    Donc pour \(\varepsilon\gt 0\) donné, on peut trouver \(N_{\varepsilon/2}\) tel que $$\forall x\in[c,b],\qquad q\gt p\geqslant N_{\varepsilon/2}\implies \lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \frac\varepsilon2$$

    Faire tendre \(x\to b^-\) pour montrer que \((\ell_n)_n\) est de Cauchy, et donc qu'elle admet une limite
    Si pour \(q\gt p\leqslant N_{\varepsilon/2}\), on fait \(x\to b^-\), on obtient : $$\begin{align}\forall x\in\;]c,b[,\qquad&\lvert\underbrace{f_q(x)}_{\longrightarrow\ell_q}-\underbrace{f_p(x)}_{\longrightarrow\ell _p}\rvert\lt \frac\varepsilon2\\ \underset{x\to b^-}\implies&\lvert \ell_q-\ell_p\rvert\leqslant\frac\varepsilon2\lt \varepsilon\end{align}$$ donc au final, on a bien pour \(\varepsilon\gt 0\) donné \(q\gt p\geqslant N_{\varepsilon/2}\implies\lvert\ell_q-\ell_q\rvert\lt \varepsilon\), ce qui prouve que la suite \((\ell_n)_n\) est de Cauchy et donc qu'elle converge vers une certaine limite \(\ell=\lim_n\ell_n\)

    Preuve de 2. Et 3. : montrer que \(\lvert\ell-f(x)\rvert\) est majorée par \(\varepsilon\) en découpant via inégalité triangulaire
    2., 3. : on va prouver que l'on a : \(\ell=\lim_{x\to b^-}f(x)\)
    $$\begin{align}\lvert\ell-f(x)\rvert&=\lvert\ell-\ell_n+\ell_n-f_n(x)+f_n(x)-f(x)\rvert\\ &\leqslant\lvert\ell-\ell_n\rvert+\lvert\ell_n-f_n(x)\rvert+\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\end{align}$$

    Montrer que chaque membre est majoré par \(\frac\varepsilon3\)
    On se donne \(\varepsilon\gt 0\)
    On a $$\ell=\lim_n\ell_n\implies\exists N^1_\varepsilon,\qquad n\geqslant N^1_\varepsilon\implies\lvert\ell-\ell_n\rvert\lt \frac\varepsilon3\tag1$$
    On a \(f_n\overset{\text{CVU}}\longrightarrow f\) sur \(]c,b[\), donc $$\forall x\in\;]c,b[,\exists N^2_\varepsilon,\qquad n\geqslant N^2_\varepsilon\implies\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \frac\varepsilon3\tag2$$
    On fixe \(n=n_0\geqslant\max(N^1_\varepsilon,N^2_\varepsilon)\) pour assurer \((1)\) et \((2)\)
    Comme \(\lim_{x\to b^-}f_n(x)=\ell_{n_0}\), on peut trouver \(\beta=b-\eta\) avec \(\eta\gt 0\) (cas \(b\lt +\infty\)) ou \(\beta\gg0\) (cas \(b=+\infty\)) tel que $$x\in\;]\beta,b[\implies\lvert\ell_{n_0}- f_{n_0}(x)\rvert\lt \frac\varepsilon3$$

    Conclusion : le tout est bien majoré par \(\varepsilon\)

    On a alors $$\lvert\ell-f(x)\rvert\leqslant\varepsilon$$ comme ceci est valable \(\forall\varepsilon\gt 0\), on en conclut bien \(\lim_{x\to b^-}f(x)=\ell\)

    Série de fonctions

    Théorème d'échange de limites :
    On se donne une série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\)
    On suppose \(X\subset{\Bbb R}\) et on se donne \(x\in\,]a,b[\) (éventuellement \(b=+\infty\))
    Si \(\ell_n=\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)\) existe et si la convergence de \(S\) est uniforme au moins sur un domaine \(]c,b[\), alors :
    - \(\sum\ell_n\) converge
    - \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}S(x)\) existe
    - $$\lim_{x\to b^-}\underbrace{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\right)}_{S(x)}=\sum^{+\infty}_{n=0}\underbrace{\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}$$


  • Rétroliens :
    • Convergence uniforme (suite de fonctions)
    • Convergence uniforme (série de fonctions)
    • Développement en série entière